Mecánica Clásica una visión contemporánea y con los amigos

¿ Qué de Mecánica Clásica?

Este curso cubrirá los contenidos estándares de un curso típico de Mecánica Clásica. Vale decir, veremos el formalismo Lagrangiano, el Hamiltoniano y de Hamilton Jacobi

  • Formalismo Lagrangiano
    • ¿Qué son y cómo se comen las coordenadas generalizadas? ¿Cual es su relación con los grados de libertad de un sistema físico?
    • Principios Variacionales y ecuaciones de movimiento (Ecuaciones Euler-Lagrange)
    • Simetrías noetherianas y no-noetherianas
    • Cantidades conservadas
  • Formalismo Hamiltoniano
    • Ecuaciones de movimiento
    • Espacio de fase
    • Sistemas dinámicos
  • Formulación con los paréntesis de Poisson
  • Transformaciones Canónicas
  • Formalismo de Hamiton-Jacobi

Metodológicamente contemporánea

Ahora bien, creo que ya no vale (solo) la pena echar el cuento de qué es y cómo se comen todos estos conceptos.  Es decir no vale la pena (solo) repetir conocimiento sino que se impone (la pena) de producir uno nuevo (o casi nuevo). Por ello la propuesta metodológica es: aprende y aplica rápido. Eso significa que debemos entender mínimamente los conceptos de los temas arriba mencionados pero aplicarlos a algún problema, no trivial, que nos permita entender y aportar algún tipo de conocimiento nuevo.

¿ y cómo así?

La propuesta es:

  1. Hacemos un fast track de qué es y cómo se comen estos conceptos y lo aplicamos a un problema no trivial a ver cómo nos sale.
  2. Tocamos, además algunos puntos gordos, no resueltos, que presenten discusión y vemos qué podemos aportar.
  3. Lo presentamos en una forma contemporánea

El Fast track

Utilizaremos algunas de las muchas versiones de estos tópicos que se encuentran en la red. Por aquello del cariño y la amistad yo recomendaré algunas pero, como cada uno de Uds es libre y soberano de buscar, leer y utilizar las que más les guste. En particular recomendaremos unos apuntes de clases de un par de grandes amigos: Mario Cosenza es uno de ellos. Tiene un manual bien chévere de Mecánica Clásica, su versión del temario típico de un curso.  De allí tenemos que ver los puntos

  • 1.1-1.6 Formalismo Lagrangiano
  • 2.1-2.8 Simetrías
  • 6.1-6.7 Hamilton y demás hierbas.

Otro de mis grandes amigos con notas de Mecánica Clásica en la red es Cayetano Di Bartolo. De sus notas consideraremos:

Finalmente, otro par de grandes amigos han escrito un libro son Jaume Carot y Jesús Ibáñez, Mecánica Teórica Editorial Reverté, S.A., Barcelona 2010. Los temas gordos para discutir serán, en primera aproximación (siempre podremos añadir temas que le interesen al colectivo)

Los temas gordos para la discusión

  1. Mecánica Lagrangeana con vínculos. Aquí pretendemos dar una discusión de cómo incorporar los vínculos holónomos y anholónomos en el formalismo Lagrangiano. Particular una discusión que hay en la literatura respecto a como incorporar vínculos anholónomos que no sean lineales en las velocidades. En particular discutiremos los artículos
    1. Flannery, M. R. “The enigma of nonholonomic constraints.” American journal of physics 73 (2005): 265.
    2. Flannery, M. R. “The elusive d’Alembert-Lagrange dynamics of nonholonomic systems.” American Journal of Physics 79 (2011): 932.
    3. Flannery, M. R. “D’Alembert–Lagrange analytical dynamics for nonholonomic systems.” Journal of Mathematical Physics 52 (2011): 032705.
  2. El segundo tópico gordo que consideraremos será el de los Lagrangianos equivalentes y el problema inverso del cálculo en variaciones.  Consideraremos aquellos lagrangianos que no sean trivialmente equivalentes, es decir que difieran en algo más de una derivada total y conduzcan a las mismas ecuaciones de movimiento. Con ello tendremos la excusa de conversar de quien fue primero el huevo o la gallina. ¿Qué es más importante (en Física) las ecuaciones de movimiento o el lagrangiano del cual se derivan. Otro amigo, Sergio Hojman, le dedicó un esfuerzo particular para entender y compartirnos este interés por este tema. Nos concentraremos, principalmente en  Hojman, Sergio, y L. C. Shepley. “Lagrangianos equivalentes.” Rev. Mex. Fis 28 (1982): 149 pero también podremos considerar sus otras contribuciones:
    1. Hojman, S., y H. Harleston. “Equivalent Lagrangians: multidimensional case.” Journal of Mathematical Physics 22 (1981): 1414.
    2. Hojman, Sergio, y Luis F. Urrutia. “On the inverse problem of the calculus of variations.” Journal of Mathematical Physics 22 (1981): 1896.
    3. Hojman, Sergio, y L. C. Shepley. “Equivalent Lagrangians in classical field theory.” Foundations of physics 16, no. 5 (1986): 465-481.
    4. Hojman, Sergio A., and L. C. Shepley. “No Lagrangian? No quantization!.”Journal of mathematical physics 32 (1991): 142.
    5. Hojman, Sergio, Francisco Pardo, Luis Aulestia, y Francisco de Lisa. “Lagrangians for differential equations of any order.” Journal of mathematical physics 33 (1992): 584.
  3. Discutimos el problema de las simetrías dinámicas (en algunos sitios llamadas simetrías no-noetheriana) y su implicación en las primeras integrales de sistemas dinámicos. En este punto consideraremos varias contribuciones
    1. Hojman, Sergio. “Symmetries of Lagrangians and of their equations of motion.”Journal of Physics A: Mathematical and General 17, no. 12 (1984): 2399.
    2. Patiño, A. “On the constants of motion for the time-dependent oscillator.” EPL (Europhysics Letters) 2, no. 12 (1986): 907.
    3. Garcia-Sucre, M., U. Percoco, y L. Núñez. “An example of a general class of symmetries of Lagrangians and their equations of motion.” Canadian journal of physics 69, no. 10 (1991): 1217-1220.
    4. Hojman, Sergio A. “A new conservation law constructed without using either Lagrangians or Hamiltonians.” Journal of Physics A: Mathematical and General25, no. 7 (1992): L291.
    5. Leach, P. G. L., y G. P. Flessas. “Noetherian first integrals.” Journal of Nonlinear Mathematical Physics 15, no. 1 (2008): 9-21.
    6. Leach, P. G. L. “Lie symmetries and Noether symmetries.” Applicable Analysis and Discrete Mathematics 6, no. 2 (2012): 238-246.
  4. Para finalizar el curso consideraremos el problema de la incorporación de la disipación a los formalismos Lagrangiano y Hamiltoniano. Otra vez, partiremos de algunas contribuciones de los amigos y a partir de allí haremos las discusión. Consideraremos:
    1. Herrera, L., L. Núñez, A. Patino, y H. Rago. “A variational principle and the classical and quantum mechanics of the damped harmonic oscillator.” Am. J. Phys 54, no. 3 (1986): 273.
    2. Patiño, A, y H Rago. “Variational Mechanics of Dissipative Systems.” Il Nuovo Cimento B 116 (Abril): (2001): 447.
    3. Patiño, A., y  H. Rago. “On the constant of motion of dissipative systems.”Canadian journal of physics 80, no. 1 (2002): 1-5.

La presentación contemporánea

La intención es producir nuevo conocimiento. Por ello nos planteamos el siguiente esquema

  1. Nos buscamos un problema que, si bien luce académico, tiene varias sutilezas y ramificaciones. El caso que analizaremos para cada unos de los puntos del programa, será el oscilador armónico bidimensional en todos sus sabores (isótropo, anisótropo, disipativo y, quizá forzado). Una búsqueda en  scholar.google nos provee de cerca de 3000 referencias bibliográficas. La idea es que vamos analizando, discutiendo y sacando las cuentas en cada uno de los puntos con estos ejemplos (según sea el caso), tratamos de entenderlo y lo vinculámos con un montón de escenarios físicos bien interesantes en materia condensada y una posible versión cuántica del modelito que vamos a estudiar.
  2. En cada uno de los puntos gordos redactamos un reporte tipo artículo. Este documento testimonial de nuestras discusiones, debe actualizar la bibliografía en el tema y comentar el estado del arte para el momento de este curso. Tomar el caso del oscilador armónico bi-dimensional (con el sabor que corresponda) y ejemplificar el tópico que estemos tratando. Este reporte lo haremos en dos soportes: en un tradicional pdf a partir de una fuente en LATEX y en un esquema de documento CDF (Computable Interactive Format). Ambos habrán de ser publicados en algún medio.

¿Cuándo?

El cronograma del curso lo podremos concretar en cuatro módulos correspondientes a cada uno de los puntos gordos

Discusión 1: Mecánica Lagrangeana con vínculos. 

  • Semanas: 1-3.
  • Responsables del escrito (PDF): José F. Rodríguez (JR) y Julian Jaimes (JJ)
  • Responsables de las simulaciones/aplicaciones al oscilador 2D (CDF): Carolina Mendoza (CM) y Christian Sarmiento (CS)
  • Fecha límite para entregar PDF/CDF: 16Sep

Discusión 2:  Lagrangianos equivalentes y el problema inverso del cálculo en variaciones.

  • Semanas: 4-6.
  • Responsables del escrito (PDF): CM y CS
  • Responsables de las simulaciones/aplicaciones al oscilador 2D (CDF): Laura Becerra (LB) y JR
  • Fecha límite para entregar PDF/CDF: 7Oct

Discusión 3:   Simetrías dinámicas y su implicación en las primeras integrales de sistemas dinámicos

  • Semanas: 7-10.
  • Responsables del escrito (PDF): LB y JR
  • Responsables de las simulaciones/aplicaciones al oscilador 2D (CDF): CS y JJ
  • Fecha límite para entregar PDF/CDF:

Discusión 4:   incorporación de la disipación a los formalismos Lagrangiano y Hamiltoniano

  • Semanas: 11-15.
  • Responsables del escrito (PDF):
  • Responsables de las simulaciones/aplicaciones al oscilador 2D (CDF):
  • Fecha límite para entregar PDF/CDF:

 

 

 

 

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