CANTOR

“La esencia de las matemáticas es la libertad”
G.C.

 

Héctor Rago

Es convencional pensar que en matemáticas no hay lugar para las discusiones sobre los puntos de vista porque la nitidez de sus teoremas no deja lugar a interpretaciones. Salvo que se discuta sobre el infinito y uno de los contrincantes tenga una personalidad brillante, intensa y paranoide con tendencias depresivas que le permitiría conocer la gloria y padecer el tormento.

Georg Cantor nació a mediados del siglo XIX en San Petersburgo, Rusia en el seno de una familia acomodada. A sus once años se trasladaron a Alemania donde Georg habría de graduarse de matemático. Con apenas 34 años ya era full Professor de la universidad de Halle. Comenzó a indagar en el concepto de infinito, una noción que tradicionalmente pertenecía al ámbito de la teología, como metáfora de lo ilimitado. Sus resultados lo convirtieron en blanco de los ataques de Leopold Kroenecker, su antiguo profesor.

 

Kroenecker mantenía que las matemáticas debían partir de los números naturales, que el infinito era un anatema y su uso era inadmisible. Kroenecker dominaba en el ámbito académico. Kroenecker era poderoso. Cantor era paranoico. Para Kroenecker, Cantor era un revolucionario peligroso y mala influencia para los estudiantes. Para Cantor, Kroenecker era un reaccionario peligroso para el crecimiento y la libertad de las matemáticas. Cantor empezó a imaginar conspiraciones e intrigas para alejarlo de los cenáculos académicos prestigiosos.
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Mientras tanto dio con la definición adecuada de un conjunto infinito, y creó una noción, la cardinalidad, que expresa el tamaño del infinito de cada conjunto. La cardinalidad de los naturales, 1, 2, 3,… se llama aleph cero y es el menor de los infinitos.

El conjunto de los números naturales, 1, 2, 3, …puede ponerse en correspondencia con los pares. Por tanto, el número de pares (o de impares o de múltiplos de 47 o de cualquier otro número!!) es igual al de naturales. Luego demostró que si incluimos a las fracciones, es decir los números de la forma m/n donde m y n son números enteros, el conjunto resultante también es numerable, es un infinito del mismo tamaño que el de los naturales.

Demostró con un ingenioso argumento que si se incluyen los irracionales es imposible contarlos, y por tanto la recta real representa un infinito mayor que el de los naturales. El infinito nos depararía más sorpresas: Cantor logró demostró que los puntos de un segmento y los de un plano tienen la misma cardinalidad, son un infinito del mismo tamaño. Un asombrado Cantor le escribiría a Dedekind: “lo veo y no lo puedo creer”.

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En 1884 tuvo un profundo desequilibrio mental que lo alejó fugazmente de las matemáticas. Entonces se dedicaba a explorar las consecuencias filosóficas y teológicas de sus descubrimientos acerca del infinito, o a investigar sobre la historia de las matemáticas en La India. O sobre literatura inglesa. Mantenía que Francis Bacon era el verdadero autor de las obras de teatro de Shakespeare.

¿Existe un infinito entre el de los naturales y el de los reales? Cantor conjeturaba que no, formalizó la teoría de conjuntos para intentar demostrar su conjetura pero no pudo y quedó como una hipótesis, la famosa hipótesis del continuo. Actualmente se sabe que la hipótesis del continuo o su negación puede anexarse al conjunto de axiomas de la teoría de conjunto y se obtienen sistemas coherentes.

Nuestro personaje consiguió un procedimiento para generar conjuntos de una cardinalidad cada vez mayor, en una jerarquía ascendente. Y no hay límite a esta inconcebible infinidad de infinitos. Cada uno de ellos haría que Kronecker se revolviera en su tumba infinitas veces.

La muerte de su madre, de su hermano y de su hijo menor en un corto lapso lo sumieron en nuevas crisis mentales. A partir de 1899 era recluido intermitentemente en hospitales psiquiátricos- conoció el tormento. Y no disfrutó plenamente de la gloria de los premios, medallas y títulos honoríficos que le fueron concedidos.

El 6 de enero de 1918, en las difíciles circunstancias de la 1ra Guerra Mundial y las peores condiciones del psiquiátrico, el corazón de Cantor se negó a seguir funcionando.

Hilbert exclamaría: “Nadie nos podrá expulsar del paraíso que para nosotros ha creado Cantor” Y nadie pudo. Buena parte de las matemáticas actuales son la herencia de Cantor, el hombre que domesticó al infinito.
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En la musicalización de este post se usó:

1.- Tres estudios para piano, Op. 18 de Bela Bartock. Intérprete, Zoltan Kocsis

2.- Adagio para cello y piano Op.38 (1871), de Woldemar Bargiel

3.- Me visitan los fantasmas, Op 120, 1972 Max Butting (1888-1976)

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