EULER


Héctor Rago
@hectorrago

 

“Puesto que la trama del universo es la más perfecta y la obra de un Creador más sabio, nada ocurre en el universo en el que no aparezca alguna regla de máximo o mínimo.”

Leonard Euler

Si te dijeran que un científico totalmente ciego publicó en el lapso de un año un artículo a la semana, debes creerlo. Si te dicen que ese científico no fue Leonard Euler no lo creas.
Leonard Euler nació en Basilea, al noroeste de Suiza donde también nacería mucho después ese otro genio del tenis, Roger Federer. Cuando nuestro personaje nacía, Bach era un joven de 22 años y Newton un respetable señor de 65.
La genialidad en los músicos y en los matemáticos se despierta temprano, y Leonard pronto habría de exhibir su formidable talento para los números. Euler moldeó buena parte de los conceptos, herramientas y resultados de las matemáticas contemporáneas.

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Estudió bajo la supervisión de uno de los Bernoulli, una familia de brillantes matemáticos y a los 19 años gana un premio de la Academia de Francia resolviendo el problema de la distribución óptima de los mástiles en un barco para que sean más veloces. No sería el único premio de la Academia Francesa: lo obtuvo en 12 oportunidades.

Su vida transcurrió entre Rusia y Berlín en las academias de esas ciudades de San Petesburgo, y la Academia de Ciencias y Bellas Artes de Berlín. En esa época las Academias de Ciencia eran los centros de investigación más activos. Resuelve el famoso problema planteado por los pobladores de Könisberg: ver si era posible cruzar los siete puentes la ciudad, de tal forma de pasar sólo una vez por cada uno. Euler demostró con tal elegancia y profundidad que no se podía que con esa prueba originó la moderna teoría de grafos.

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En 1730 pierde la visión de un ojo. Sin embargo su mirada de matemático sigue impecable. Nada humano le es ajeno en el mundo de las matemáticas. De la geometría al cálculo, de la trigonometría a las ecuaciones diferenciales y de las series infinitas a la teoría de números y a las funciones de variable compleja. Logra descubrir relaciones que han pasado inadvertidas para otros matemáticos, a veces relativamente simple, como la observación de que en todo poliedro siempre se cumple que el número de vértices sumado al número de caras es igual al número de aristas más dos. Resuelve el problema de Basilea, popularizado por Jakob Bernoulli: conseguir el valor de la serie infinita 1 +1/4 + 1/9 + 1/25 +…El resultado le había sido esquivo a las mejores mentes. Pero no a la de Euler, quien demostró que la suma resulta ser igual a la sexta parte de pi al cuadrado.
La huella que Euler dejó en las matemáticas puede vislumbrarse por la manera como sus símbolos y notaciones perduraron. A él le debemos el uso de la letra π, designó como i a la raíz cuadrada de menos uno, unidad de los números imaginarios, la base de los logaritmos naturales como “e”, de exponencial y conocida como número de Euler; la notación f(x) para designar una función.

Sus intereses y contribuciones se pasearon por la astronomía y el movimiento lunar, óptica, acústica, música, mecánica, inventó el cálculo variacional y es el héroe de los físicos teóricos por sus ecuaciones de Euler- Lagrange.
Tan prolífico en la vida como en la ciencia, tuvo 13 hijos. Sólo cinco le sobrevivieron. Si Beethoven hizo música que jamás oyó, nuestro personaje desarrolló matemáticas que jamás vio. En 1771 quedó totalmente ciego pero la memoria prodigiosa de Euler el memorioso le permitía hacer cálculos mentales que le dictaba a alguno de sus hijos. Podía decir de memoria los cien primeros números primos y sus potencias. Calidad y cantidad, hacía matemáticas como quien respira. Publicó más de doscientos trabajos luego de fallecido, más que un matemático promedio en toda su vida.

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Su “Opera Omnia” tiene más de 25.000 páginas, incluyendo las Cartas a una joven princesa, editado luego como libro de divulgación.
Integrante natural del “dream team” de los mejores matemáticos del mundo, cuando contaba 76 años y Simón Bolívar nacía en Caracas, una hemorragia cerebral segó la vida de Leonard Euler, el más prolífico de los matemáticos.
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En la musicalización del audio de este post se usó:
 

1.- «Rapsodia en la menor» Opus 43, Sergei Rachmaninoff (1934)

2.- «Frates» Obra para piano y cello del compositor Arvo Pärt, (1989)

3.- «Cuarteto para cuerdas N.14», Opus 131, Presto, de Ludwig Von Beethoven, (1826)

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EL SENTIDO DEL TIEMPO


Héctor Rago
@hectorrago

 

“El tiempo es la sustancia de que estoy hecho. El tiempo es un río que me arrebata, pero yo soy el río”

Jorge Luis Borges

Una lágrima resbala por la mejilla de una persona. Cae en una taza de café. Lentamente sus moléculas se dispersan uniformemente en el líquido. Ella recuerda los sucesos ya inmutables del pasado y vislumbra los del futuro que podrá alterar. El café se ha enfriado y tiene la temperatura del ambiente. Esta cadena de eventos ocurren de una manera irreversible: no veremos al café volver espontáneamente a la temperatura inicial ni a la lágrima subir de la taza a la mejilla y al ojo de la persona, como una película proyectada del final al comienzo.
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¿Por qué tenemos la sensación de que el tiempo es un flujo que nos arrastra de un pasado definitivo hacia un futuro que podemos en principio modificar, pasando por un evanescente instante presente? Percibimos diferente la noción futuro que la del pasado. Al pasado solo tenemos acceso a través de la memoria. El futuro es potencialmente modificable.
La diferencia que percibimos entre pasado y futuro, es una característica real del universo en que vivimos y no una apreciación subjetiva de la psicología humana.La flecha del tiempo es un hecho de la naturaleza y requiere una explicación.
Esta flecha del tiempo se hace más intrigante porque las leyes fundamentales de la física no distinguen entre pasado y futuro. En otras palabras, si las leyes básicas de la física permiten un determinado proceso, entonces también permiten el proceso invirtiendo el sentido del tiempo.

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Los físicos diseñaron una manera de medir el desorden de un sistema físico a través de una cantidad denominada Entropía; y observaron que los sistemas físicos evolucionan de tal manera de aumentar su entropía simplemente porque con cualquier noción razonable de orden, hay más estados desordenados que ordenados.
Para hacernos una idea, imaginemos un niño jugando en su cuarto. Tiene diez juguetes ordenados en el estante. Toma un juguete al azar, juega durante cinco minutos y lo lanza. Digamos que la probabilidad de que caiga de nuevo en el estante es del 1%, y en el suelo el 99% restante. La pregunta es: ¿cuánto tiempo pasará para que la habitación pase del orden al desorden total, con todos los juguetes en el piso? Un cálculo sencillo da como resultado que en promedio son unas dos horas y media. El niño continúa jugando y eventualmente un juguete caerá en el estante. Y podemos estimar qué tiempo habrá de pasar para que por azar todos los juguetes se ordenen. La respuesta asombrosa es unas cien mil veces mayor que la edad del universo.
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El crecimiento de la entropía o la tendencia al desorden ocurre porque las probabilidades la favorecen, es la predilección del azar. El tránsito hacia el desorden ocurre porque las condiciones iniciales eran poco probables: todos los juguetes ordenados.
Hay una pequeñísima probabilidad de que por azar la taza de café se caliente espontáneamente y las moléculas de la lágrima de junten y suba de nuevo al ojo que la derramó.
Las leyes macroscópicas son irreversibles no porque esté inscrito en las ecuaciones básicas de la naturales. La irreversibilidad es una propiedad que emerge de promediar un sinnúmero de eventos simétricos en el tiempo. Tiene que ver no con las leyes sino con las condiciones iniciales y con el azar estadístico. Es más probable que ocurran en una dirección que en la opuesta, es más probable que el cuarto se desordene. Nuestra noción del transcurrir del tiempo del pasado hacia el futuro está anclado en las probabilidades. Los procesos termodinámicos en nuestro cerebro son los responsables de que percibamos el tiempo como un río.

El crecimiento de la entropía es la responsable de que percibamos un sentido del tiempo, y establece una distinción entre el pasado y el futuro.
La asimetría del tiempo es la asimetría del azar. Si las condiciones iniciales son improbables es decir, de baja entropía, el sistema evolucionará hacia el desorden. Cuando el cuarto del bebé se está desordenando hay una flecha del tiempo. Una vez desordenado, la entropía ya no aumenta y la flecha del tiempo ya no existe.
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Como la habitación del bebé, nuestro universo se está desordenando continuamente. El universo como un todo muestra una inexorable tendencia a aumentar su entropía. En una lágrima que cae en el café, en cada estrella que brilla, en cada supernova que explota o en cada par de agujeros negros que se funden emitiendo ondas gravitacionales al espacio.
Luego de 14.000 millones de años nuestro universo continúa desordenándose, porque al igual que la habitación del niño, sus condiciones iniciales eran muy ordenadas. Aunque no sepamos por qué el Big Bang produjo un universo tan excepcionalmente ordenado.

La falta de simetría entre el pasado y el futuro es una propiedad emergente, consecuencia de la manera como ha evolucionado nuestro universo.
En un universo totalmente desordenado con una entropía máxima, no habría sentido preferencial del tiempo.
Pero tampoco habría nadie para constatarlo.
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En la musicalización del audio de este post se usó:
1.-«A time for us» de Nino Rota para el film Romeo y Julieta de Franco Zeffirelly. Versión del violinista Andre Rieu

2.- «High Hopes» de Pink Floyd (1994)

3.- «Comming back to life» de Pink Floyd (1994)

4.- Grupo de improvisación libre «Newphonic Art» (1969)

5.- «Shine on you crazy diamond» de Pink Floyd (1975)
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